기타 그래프 이론 ( 서로소 집합 자료구조 )

 : 서로소 집합 자료구조
     서로소란?
     공통 원소가 없는 두 집합을 의미한다.
     { 1, 2 }, { 3, 4 } 는 서로소 관계이다.
     { 1, 2 }. { 2, 3 } 은 서로소 관계가 아니다.

     서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조
     서로소 집합 자료구조는 두 종류의 연산을 지원한다.
     합집합 ( Union ) : 원소가 포함된 두 개의 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
     찾기 ( Find ) : 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산

     서로소 집합 자료구조는 합치기 찾기 ( Union Find ) 자료구조로 불리기도 한다. 

     여러개의 합치기 연산이 주어졌을 때, 서로소 집합 자료구조의 동작과정은 다음과 같다.
     1. 합집합( Union ) 연산을 확인해, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인
        1) A와 B의 루트 노드 A`, B`을 각각 찾는다.
        2) A`을 B`의 부모 노드로 설정한다.
     2. 모든 합집합 ( Union ) 연산을 처리할때까지 1번의 과정을 반복한다.

     관행적으로 더 큰 루트노드가 더 작은 노드를 부모로 가리키도록 하고 있다고 한다.

 

     그리고 찾기 연산의 경우, 
     ( 개인적으로 저 설명만으로 부족해서 첨언하면 부모 노드를 타고가 루트 노드를 찾는걸 말한다. )
     최악의 경우 모든 노드를 다 확인하게 되어 시간복잡도가 O(n)이다.
     그래서 이 경우 경로압축을 위해, 찾기 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 바로 갱신할 수 있다. 

 : 서로소 집합을 활용한 사이클( Cycle ) 판별

      : 우선 사이클(Cycle)에 대해서 알아보자.
     사이클은 그래프의 특정 정점에서 출발하여 돌아다니다가 다시 처음 출발했던 곳으로 되 돌아 갈 수 있는 것을 뜻한다.
     정의를 찾고 싶었는데, 제일 가까운 표현이 첫 번째 정점과 마지막 정점이 동일한 단순 경로를 말한다.
     사이클이 없는 그래프를 DAG ( Directed Acyclic Graph ) 라 한다.

     그렇다면, 단순 경로는 무엇일까?
     위키백과상에서는 처음 정점과 끝 정점을 제외하고 중복된 정점이 없는 경로를 말한다고 한다.

     궁금해지는게
     1 - 2
     무방향 그래프로 주어졌을때, 

     단순경로의 정의대로 1에서 2로가고, 끝 정점은 중복되지 않아도 되니 다시 1로 돌아간다면

     이는 사이클이 되는건가 싶은데
     무방향 그래프의 사이클 예시글들을보면 이 경우는 포함하지 않는다.
     단순 경로의 정의가 간선을 한번만 사용하는 내용이 추가되어야 맞지않나 생각이 든다.

     서로소 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 수 있다.
     ( 참고로 방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별할 수 있다. )

     사이클 판별 알고리즘은
     1. 각 간선을 하나씩 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.
      1) 루트 노드가 다르다면 두 노드에 대하여 합집합 연산을 수행한다.
      2) 루트 노드가 서로 같다면 사이클이 발생한 것이다.
     2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복한다.

    
     이 경우, 모두의 부모 노드가 같아지므로 사이클을 판별할 수 있는건가 싶었지만, 
     이렇게 모든 간선을따라 하나씩 union을 하게되면 종점이 곧 시작점인 부모노드를 만나게되고
     union하기전부터 이미 둘의 부모노드가 동일하게 되는 것을 알 수 있었다.
     즉, 이 과정은 직관적으로 뿌리가 같음을 볼 수 있기에 사이클이 형성됨을 알 수 있는 방식이다.

 

 ( 수정 : 이 부분은 https://the-bingle.tistory.com/86 를 포함해 읽는걸 권장함 )

 

 : 신장 트리
     그래프에서 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미한다.

     최소한의 비용으로 구성되는 신장 트리를 찾는 알고리즘을 배워보자

     : 크루스칼 알고리즘
     대표적인 최소 신장 트리 알고리즘
     그리디 알고리즘으로 분류됨
     
     1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.
     2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 싸이클을 발생시키는지 확인한다.
        1) 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.
        2) 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.
     3. 모든 간선에 대하여 2번 과정을 반복한다.

     설명중에, 최종적으로 최소 신장트리를 구성하는 간선의 수는 전체 노드의 개수 -1이라 한다.
     이게 맞다면 사실 알고리즘을 크루스칼 알고리즘을 이용해서 구하면 O(n^2)의 시간복잡도를 갖는것으로 보여지는데
     ( 간선마다, 사이클이 발생하는지 확인하기 때문에 )
     전체 노드 갯수 -1개의 간선의 최소를 구하면 당연히.. 사이클이 될 수 있기때문에 안되겠네..
     혹시라도 읽다가 같은 생각이 잠깐 들어 확인하고자 하는 사람이 있을까 싶어 생각의 흐름을 남겨놓는다.
     그럼 당연히 다음으로 궁금해지는건,
     해당 개수의 간선의 비용의 합을 오름차순으로 만들고, 사이클이 생기지 않는 가장 작은 값을 구하면 어떨까?
     우선 해당 개수의 간선의 비용의 합들을 구하는 방법이 O(n!)이기 때문에 절대 고려할 수 없다.

     그래서 제시된 크루스칼 알고리즘으로 해결해야 한다.

     이 경우 간선의 개수가 E개 일때 O(E*log E) 의 시간복잡도를 갖는다.
     가장 시간을 많이 요구하는 곳은 간선의 정렬을 수행하는 부분이다.

     강의에는 나오지 않은 것 같은데, 먼저 그리드 알고리즘에대해 배울때
     그리드 알고리즘을 이용하려면 이게 왜 최선이 성립할 수 있는지 확인해보자고 했었다.

     이 부분은 바로 생각이 나지 않아 좀 고민이 필요할 것 같아 떠오른다면 추가글에 작성하도록 하겠다.